Teorema di Cauchy (meccanica del continuo)

Nella meccanica del continuo, il teorema di Cauchy, noto anche come teorema di Cauchy-Poisson, afferma che, in un dominio fluido sottoposto a forze di massa e di contatto, la risultante degli sforzi agente sulla superficie di qualsiasi punto secondo una generica giacitura ${\displaystyle {\underline {n}}}$ è univocamente definita una volta riferiti gli sforzi a una giacitura cartesiana. Nella definizione delle forze di contatto, infatti, ci si riferisce a una generica giacitura ${\displaystyle {\underline {n}}}$ della superficie, per cui la cui risultante degli sforzi potrebbe avere infiniti gradi di libertà, rendendo il problema indeterminato. In altri termini, il teorema di Cauchy-Poisson afferma che le equazioni cardinali della statica ammettono, oltre alla forma generale, una locale.

Dimostrazione

Preso un sistema di riferimento cartesiano ${\displaystyle \{{\hat {i}}_{x},\ {\hat {i}}_{y},\ {\hat {i}}_{z}\}}$centrato in ${\displaystyle P_{0}}$ e con orientamento arbitrario, sul quale la tensione è data dalle distribuzioni degli sforzi:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\underline {\phi }}_{\,x}(P_{0})=\{t_{xx},\ t_{xy},\ t_{xz}\}\\&{\underline {\phi }}_{\,y}(P_{0})=\{t_{yx},\ t_{yy},\ t_{yz}\}\\&{\underline {\phi }}_{\,z}(P_{0})=\{t_{zx},\ t_{zy},\ t_{zz}\}\end{aligned}}}$

a partire da una combinazione lineare di queste è possibile ricavare una qualunque ${\displaystyle {\underline {\phi }}_{\,n}(P_{0})}$, cioè conoscendo tre distribuzioni degli sforzi, relative a tre tagli mutualmente ortogonali, consente di conoscere tutto lo stato tensionale.

L'intorno tetraedrico di ${\displaystyle P_{0}}$, individuato dai punti ${\displaystyle P_{0}P_{x}P_{y}P_{z}}$ e di volume ${\displaystyle dV}$, è detto tetraedro di Cauchy. La faccia ${\displaystyle P_{x}P_{y}P_{z}}$ possiede una giacitura costante ${\displaystyle {\underline {n}}=\{n_{x},\ n_{y},\ n_{z}\}}$, le cui componenti sono i coseni direttori dello sforzo. Sulla faccia ${\displaystyle P_{y}P_{0}P_{z}}$ agirà la distribuzione di sforzi ${\displaystyle {\bar {\phi }}_{x}}$, su ${\displaystyle P_{x}P_{0}P_{z}}$ agirà ${\displaystyle {\bar {\phi }}_{y}}$, su ${\displaystyle P_{x}P_{0}P_{y}}$ agirà ${\displaystyle {\bar {\phi }}_{z}}$ ed infine su ${\displaystyle P_{x}P_{y}P_{z}}$ agirà ${\displaystyle {\bar {\phi }}_{n}}$. Si consideri quindi questo dominio fluido ${\displaystyle \Omega }$ soggetto ad azioni di contatto su tutte e quattro le facce. Chiamando ${\displaystyle dA_{n}}$ l'areola infinitesima dove agisce la tensione, le ${\displaystyle dA_{i}}$ sono le proiezioni sui piani coordinati di ${\displaystyle dA_{n}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}&dA_{x}=dA_{n}n_{x}\\&dA_{y}=dA_{n}n_{y}\\&dA_{z}=dA_{n}n_{z}\end{aligned}}}$

Le ${\displaystyle {\underline {\phi }}_{\,i}(P_{0})}$ si possono considerare applicate nei baricentri delle facce del tetraedro di Cauchy, dato che gli errori sono infinitesimi; inoltre, nel baricentro del tetraedro agisce anche la forza di gravità ${\displaystyle {\underline {F}}_{G}}$. Pertanto l'equilibrio alla traslazione è:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\underline {\phi }}_{\,n}dA_{n}-{\underline {\phi }}_{\,x}dA_{x}-{\underline {\phi }}_{\,y}dA_{y}-{\underline {\phi }}_{\,z}dA_{z}-{\cancel {{\underline {F}}_{G}dV}}=\\=\ &{\underline {\phi }}_{\,n}{\cancel {dA_{n}}}-{\underline {\phi }}_{\,x}{\cancel {dA_{n}}}n_{x}-{\underline {\phi }}_{\,y}{\cancel {dA_{n}}}n_{y}-{\underline {\phi }}_{\,z}{\cancel {dA_{n}}}n_{z}=0\end{aligned}}}$

da cui si ricava che

${\displaystyle {\underline {\phi }}_{\,n}(P_{0})={\underline {\phi }}_{\,x}(P_{0})\,n_{x}\ {\underline {\phi }}_{\,y}(P_{0})\,n_{y} {\underline {\phi }}_{\,z}(P_{0})\,n_{z}\implies {\begin{cases}\phi _{nx}=t_{xx}n_{x} t_{yx}n_{y} t_{zx}n_{z}\\\phi _{ny}=t_{xy}n_{x} t_{yy}n_{y} t_{zy}n_{z}\\\phi _{nz}=t_{xz}n_{x} t_{yz}n_{y} t_{zz}n_{z}\end{cases}}}$

il che equivale ad affermare la linearità di ${\displaystyle {\underline {\phi }}_{\,n}}$ rispetto a ${\displaystyle {\underline {n}}}$. La precedente relazione può essere riscritta in forma tensoriale come:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}\phi _{nx}\\\phi _{ny}\\\phi _{nz}\end{Bmatrix}}_{(P_{0})}{\!\!\!\!\!\!}=\underbrace {\begin{bmatrix}t_{xx}&t_{yx}&t_{zx}\\t_{xy}&t_{yy}&t_{zy}\\t_{xz}&t_{yz}&t_{zz}\end{bmatrix}} _{\displaystyle {\underline {\underline {T}}}}\cdot {\begin{Bmatrix}n_{x}\\n_{y}\\n_{z}\end{Bmatrix}}\implies {\underline {\phi }}_{\,n}={\underline {\underline {T}}}\cdot {\underline {n}}}$

dove ${\displaystyle {\underline {\underline {T}}}}$ è il tensore delle tensioni in ${\displaystyle P_{0}}$, noto il quale è possibile conoscere completamente lo stato tensionale.

Voci correlate

• Continuo di Cauchy
• Deformazione
• Grado di libertà
• Meccanica del continuo
• Relazione costitutiva
• Tensione interna