Alternativa di Tits

In matematica, l'alternativa di Tits, dal nome del matematico francese Jacques Tits che l'ha formulata e che ha contribuito a valergli la vittoria del Premio Abel 2008, è un teorema così definito in origine:

Definizione formale

Il teorema, dimostrato dallo stesso Tits, asserisce quanto segue:

Conseguenze

Un gruppo lineare non è amenabile se e solo se contiene un gruppo libero non abeliano (quindi la congettura di von Neumann, che non è vera in generale, lo è per i gruppi lineari).

L'alternativa di Tits è un ingrediente importante nella dimostrazione del teorema di Gromov sui gruppi di crescita polinomiale. Infatti, l'alternativa stabilisce essenzialmente il risultato per i gruppi lineari (lo riduce al caso dei gruppi risolubili, che possono essere trattati con mezzi elementari).

Generalizzazione

Nella teoria geometrica dei gruppi, un gruppo ${\displaystyle G}$ si dice che soddisfa l'alternativa di Tits se per ogni sottogruppo ${\displaystyle H}$ di ${\displaystyle G}$ o ${\displaystyle H}$ è virtualmente risolubile o ${\displaystyle H}$ contiene un sottogruppo libero non abeliano (in alcune definizioni questa condizione è necessaria essere soddisfatta solo per tutti i sottogruppi di G finitamente generati).

Esempi di gruppi che soddisfano l'alternativa Tits che non sono lineari, o almeno non è noto se siano lineari:

• Gruppi iperbolici
• Mapping class group
• Out(F_n)
• Certi gruppi di trasformazioni birazionali di superfici algebriche

Esempi di gruppi che non soddisfano l'alternativa di Tits sono:

• Il gruppo di Grigorchuk
• Il gruppo F di Thompson

Dimostrazione

La dimostrazione dell'originale alternativa di Tits si ricava osservando la chiusura Zariski di ${\displaystyle G}$ in ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(k)}$. Se è risolubile allora il gruppo è risolubile. Altrimenti si guarda l'immagine di ${\displaystyle G}$ nel componente Levi. Se non è compatto allora un argomento ping-pong completa la dimostrazione.

Se è compatto allora o tutti gli autovalori degli elementi nell'immagine di ${\displaystyle G}$ sono radici dell'unità e quindi l'immagine è finita, oppure si può trovare un'inclusione di ${\displaystyle k}$ in cui applicare la strategia del ping-pong.

Si noti che anche la dimostrazione di tutte le generalizzazioni di cui sopra si basa sul lemma del ping-pong.

Note

Bibliografia

• J. Tits, Free subgroups in linear groups, in Journal of Algebra, vol. 20, n. 2, 1972, pp. 250-270, DOI:10.1016/0021-8693(72)90058-0.
• Mladen Bestvina, Feighn, Mark; Handel, Michael, The Tits alternative for Out(F_n) I: Dynamics of exponentially-growing automorphisms, in Annals of Mathematics, vol. 151, n. 2, 2000, pp. 517-623, DOI:10.2307/121043, JSTOR 121043, arXiv:math/9712217.

Voci correlate

• Congettura di von Neumann